Reistijdformules van De Vries

In 1967 publiceerde Co de Vries twee formules voor de reistijd van een waterdeeltje in een watervoerende laag. De eerste formule geeft de horizontale reistijd tussen het punt van infiltratie en het punt waarop het waterdeeltje uittreedt in de bodem van ee waterloop. De tweede formule geeft de ouderdom van grondwater in de verticaal.

verklaring symbolen

t(x)  : reistijd tussen x en infiltratiepunt xo (dagen)
x  : afstand tot het punt van infiltratie (m)
n  : porositeit van de bodem (dimensieloos)
N  : grondwateraanvulling (m/dag)
D  : dikte van de watervoerende laag (m)
xo  : afstand tussen het punt van infiltratie en het kwelgebied (m)
t(z)  : ouderdom van een waterdeeltje op diepte z in een watervoerende laag (d)

Rekenschema

Reistijd tussen twee locaties

Op de laatste bladzijden van het proefschrift van Co de Vries (1974) vinden we een eenvoudige formule voor de horizontale reistijd van een waterdeeltje in een watervoerende laag:

De formule geeft de reistijd t(x) van een waterdeeltje tussen het infiltratiepunt x0 en de gekozen plaats x.

DeVries-1975-symmetrisch-drainagepatroon

Verband tussen horizontal en verticale stroming

Vervolgens stelt De Vries dat er een verband mag worden verondersteld tussen de horizontale beweging en de verticale beweging:

"Furthermore it is evident that in a vertical section the residence time increases with depth. In the case of a symmetrical flow pattern the following relation might therefore tentatively be assumed for x-values between the divide and half-way the discharge base."

Wiskundig ziet dat verband er zo uit:

Reistijd in de verticaal

Combineren van beide vergelijkingen geeft een formule die de ouderdom van een infiltrerend waterdeeltje in de verticaal beschrijft:

Deze formule heeft grote praktische waarde. Meinardi (1994) gebruikt hem bijvoorbeeld in zijn proefschrift, waarbij hij ouderdomsbepalingen op basis van tritium-metingen koppelt aan de uitkomsten van deze formule.

Oorsprong van de formules

De Vries of Ernst?

Is het proefschrift van De Vries de eerste publicatie waarin deze formules worden afgeleid of zijn er oudere bronnen?

De vergelijking voor horizontale reistijd is al te vinden in een ICW-nota van Ernst uit 1973. Daarin ontbreekt echter de stap naar de reistijd in de verticaal.
De Vries verwijst in zijn proefschrift niet naar Ernst, wel in in zijn overzicht van reistijdformules dat een jaar later verschijnt (De Vries, 1975).

In de jaren zestig heeft De Vries gewerkt bij het ICW. Hij was toen betrokken bij het onderzoek van De Ridder naar de geohydrologie van de Achterhoek. De Vries publiceerde in 1967 en 1968 maar liefst tien ICW-nota's. In die tijd zal hij ook contact gehad hebben met Ernst.
Kende De Vries de reistijdformule uit zijn ICW periode? En wat was voor hem aanleiding de stap te maken naar de verticale beweging?

Aardwetenschapper tussen cultuurtechnici

Per mail geeft De Vries de volgende toelichting, die hier met zijn toestemming wordt weergegeven:

De oorsprong van de 'reistijdenformule' kan ik nog aardig reconstrueren omdat ik mij herinner dat het toentertijd bij het ICW onderdeel was van enige controverse tussen mij en enkele conservatieve 'natte' cultuurtechnici, alsmede van een persoonlijke bevordering.
Ik werkte in de jaren 1965-1967 bij het ICW mee aan het onderzoek naar de hydrogeologie van de Achterhoek. Daarbij ontdekte ik in de chemie van het grondwater dat er gebieden voorkwamen met een relatief hoge concentratie en gebieden met een lage concentratie opgeloste stoffen, die gekoppeld bleken te kunnen worden aan respectievelijk laaggelegen gebieden met grote slootdichtheid en relatief hooggelegen gebieden met lage slootdichtheid.
Dit leidde tot het idee van het voorkomen van gebieden met netto ondergrondse instroom (kwel) en netto ondergrondse uitstroom (infiltratie).
Ik heb toen een soort eindige differentie netwerk berekening (met de hand!) gemaakt om deze 'stroomsystemen' te kwantificeren.
grondwaterafover Achterhoek
Ik herinner mij dat er (toen ik dit verhaal vertelde op een stafvergadering) nogal wat protest kwam van de 'drainage ingenieurs' die niet konden accepteren dat er tussen de normale stroming naar sloten en beken nog een soort subsysteem zou zijn, dat gedreven werd door de topografie van dekzandruggen en tussenliggende, relatief lage plekken. Dit werd gezien als typische onzin van iemand uit de aardwetenschappelijke hoek.
Ik werd echter gesteund en aangemoedigd door directeur C. van den Berg en adjunct W.C. Visser om dit idee verder uit te werken. Bij de verdere uitwerking heb ik toen ook (in verband met de chemische verschillen) gerekend aan de verblijftijden tussen de infiltratie en kwelgebieden, met de inmiddels bekende formules.
Verder heb ik toen verticale temperatuursmetingen uitgevoerd waaruit bleek dat het grondwater (dieper dan 12 m) onder infiltratiegebieden tussen de 1.5 en 2 graden kouder was dan onder kwelgebieden.
Het resultaat van dit alles was dat ik (nog niet afgestudeerd) door Van den Berg meteen bevorderd werd van Assistent naar Technisch Hoofdambtenaar met de titel 'Ing'.
Ik heb dit (handingekleurde) geschrift nog teruggevonden: 'Grondwaterstroomsystemen in de Achterhoek ' ( J.J. de Vries, 1967). Er staat bij aangetekend dat het een 'pre-nota van het ICW ' is, dus kennelijk was het mijn bedoeling het geheel later in een officiele genummerde ICW nota vast te leggen, maar dat is nooit gebeurd; ik had het kennelijk te druk met nota 423 (18 oktober 1967): 'De consequenties van grondwaterwinning in de Achterhoek'.
Want dat was mijn eigenlijke opdracht: Onderzoek naar de invloed van grondwaterwinning op de grondwaterstand, en daarmee op de landbouw. Wel is mijn kaartje van het regionale patroon van de 'grondwaterstroomsterkten' opgenomen in het ICW jaarverslag 1967.
Komt de vraag heeft Ernst de hand in mijn formules gehad? Dat is niet onmogelijk; ik heb in die periode enige tijd een kamer met Ernst gedeeld en hij hielp mij wel eens met wiskundige problemen. Ik herinner mij wel dat we in dit verband nogal wat hebben gedicussieerd en gefilosofeerd over het begrip ' kwel' in dit verband.
Ernst heeft veel later in 1973 (nota 755) diezelfde formules nog eens wat verder uitgewerkt.
Dat ik in mijn proefschrift van 1974 niet naar dat geschrift heb verwezen is omdat ik toch een zekere prioriteit claimde, en waarschijnlijk kende ik deze interne nota 755 toen ook nog niet. Ernst (die het manuscript van mijn proefschrift heeft doorgenomen) heeft daar ook geen enkele opmerking over gemaakt.
Overigens hebben noch Ernst, noch ik het toen nodig gevonden die formules expliciet in een tijdschrift te publiceren omdat (dachten wij) de oplossing nogal voor de hand lag.
Achteraf gezien was het misschien toch wel origineel (en gewaagd) om bij de oplossing uit te gaan van een vaste verhouding tussen diepte en afgelegde weg van de waterdeeltjes.

Publicatie uit 1967

De pre-nota waarvan in bovenstaand citaat sprake is (De Vries, 1967a) blijkt beide formules te bevatten. Bovendien is deze nota wel degelijk verschenen als genummerde ICW-Nota (de Vries, 1967b), maar onder een andere titel. Op bladzijden 6 en 7 van ICW Nota 416 vinden we de afleiding van beide vergelijkingen.
Co de Vries is dus eerste auteur, voor Ernst. Op deze site worden de vergelijkingen dan ook aangeduid als "de reistijdenformules van De Vries".

Referenties

Ernst, L.F. (1973). De bepaling van de transporttijd van het grondwater bij stroming in de verzadigde zone. Nota 755. Instituut voor Cultuurtechniek en Waterhuishouding, Wageningen.

Meinardi, C.R. (1994). Groundwater recharge and travel times in the sandy regions of the Netherlands. Proefschrift VU Amsterdam. Rapport 715501004. RIVM, Bilthoven.

Vries, J.J. de (1967a). Grondwaterstroomsystemen in de Achterhoek. Ongepubliceerde ICW-Nota, Wageningen.

Vries, J.J. de (1967b). Relatie tussen chemische samenstelling en beweging van het grondwater in de Achterhoek. Nota 416. d.d. 9 augustus 1967. Instituut voor Cultuurtechniek en Waterhuishouding, Wageningen.

Vries, J.J. de (1974). Groundwater Flow Systems and Stream Nets in the Netherlands. Proefschrift, Vrije Universiteit. Rodopi, Amsterdam.

pdf-ernst1937Vries, J.J. de (1975). Some Calculation Methods for Determination of the Travel Time of Groundwater. Aqua-Vu Serie A. No. 5: p3-15. Vrije universiteit, Amsterdam.