Reistijd naar een onttrekking

reistijd_put_onvolkomen

In een freatische watervoerende laag wordt grondwater onttrokken uit een put.
De grondwateraanvulling is te verwaarlozen. Daardoor is het onttrokken water volledig afkomstig van een vaste rand op afstand R van de put.

De formule geeft de reistijd van een waterdeeltje vanaf het moment van infiltratie (T = ti op afstand R van de put) en het moment t(r) waarop het waterdeeltje zich op een afstand r van de put bevindt. De rand van de put bevindt zich op r = rw.

In de formule voor de reistijd van een waterdeeltje naar de put in een freatische laag komt een speciale functie voor, die bekend staat als de imaginaire error functie (erfi). Dit maakt toepassing van de formule vrij omslachtig.
Voor praktische berekeningen kan in veel gevallen net zo goed de reistijdformule voor een onttrekking in een afgesloten pakket worden gebruikt. Die is veel eenvoudiger omdat er geen speciale functie in voorkomt.

Formule

reistijd

De reistijd t(r) van een waterdeeltje tussen het punt van infiltratie ri en de put rw is (Chapuis & Chesnaux, 2006a; Chapuis & Chesnaux, 2006b):

$t(r) = n_e \sqrt{\frac{\pi}{2 k Q_w}}\left[ r_i^2\: g(r_i)-r^2\:g(r)+\frac{r_w^2\sqrt{\pi}}{2C}\left[erfi(g(r_i))-erfi(g(r))\right]\right]$

definitie van parameters

De functie g(r) is gedefinieerd als:

$\fn_cm g(r) = \sqrt{ln\:(C\:\frac{r^2}{r_w^2})}$

De constante C is gedefinieerd als:

$\fn_cm ln\,C = \frac{2 \pi k\: h_w^2}{Q_w}$

speciale functie erfi(x)

De uitdrukking erfi(x) staat voor de imaginaire error functie:

$\fn_cm erfi(x) = \frac{2}{\sqrt{\pi}}\int_{0}^{x}e^{t^2} dt$

invloedssfeer van de put

Voor het berekenen van de reistijd moet bekend zijn op welke afstand R de vaste rand ligt waar het water op t=ti de reis naar de put begint. Deze afstand kan worden geschat met de volgens formule (Chapuis & Chesneaux, 2006a):

$\dpi{120} \fn_cm R = r_w\:e^{\pi k(h_R^2-h_w^2)/Q_w}$

Dit is de formule van Dupuit, herschreven om de invloedssfeer R van de put te berekenen uit de bekende verlaging. De verlaging kan bekend zijn door metingen van de dikte van de verzadigde zone in het freatische pakket (op een locatie nabij de put en een locatie op grote afstand van de put). De verlaging kan ook worden opgelegd als criterium voor ontwerp van een nieuwe onttrekking.

verklaring van symbolen

h(r)	:	freatische grondwaterstand (m)
hR	:	stijghoogte op de vaste rand op afstand R (m)
hw	:	stijghoogte direct naast de put (m)
r	:	afstand tot de put (m)
R	:	afstand van de vaste rand tot de put (m)
ti	:	begin van de reist vanaf de rand (dagen)
rw	:	ligging van de rand van de put (m)
Qw	:	grootte van de onttrekking uit de put (m3/dag)
k	:	doorlatendheid van het watervoerend pakket (m/dag)
n	:	effectieve porositeit (-)

Rekenvoorbeeld

effect van het onttrokken debiet op de reistijd

In een watervoerende laag met een doorlatendheid k=15 m/dag en een effectieve porositeit n = 0,20 staat een volkomen put. De dikte van de verzadigde zone bij de put hw is 20 m, de diameter van de put is verwaarloosbaar klein. De invloedsffeer van de put wordt dan met bovenstaande formule berekend als 1175 meter.

Onderstaande grafiek toont de reistijd van een waterdeeltje dat (bij dezelfde parameterschattingen) infiltreert op 1 kilometer afstand bij een debiet van Q=1500 m3/dag (rode lijn) en Q= 3000 m/dag (blauwe lijn).
Bij een debiet van 1500 m3/dag is het waterdeeltje na 30 jaar bij de put. Bij een debiet van 3000 m3/dag duurt dat ongeveer 53 jaar. Bij verdubbeling van het debiet neemt de reistijd dus toe met een factor 1,8.

reistijd_put_onvolkomen_grafiek

rekentechniek

Rechtstreekse numerieke evaluatie van de functie g(x) wordt bemoeilijkt doordat de constante C grote waarden aanneemt, waarna de natuurlijke logaritme wordt genomen. Daarom wordt voor numerieke evaluatie de functie g(x) herschreven. Daarbij wordt gebruik gemaakt van de relatie:

$\fn_cm ln\:\left(C\:\frac{r^2}{r_w^2}\right)=ln\:\left(C\right )+ln\left(\frac{r^2}{r_w^2}\right )$

Waardoor g(r) herschreven kan worden tot:

$\fn_cm g(r) = \sqrt{C+ln\:(\frac{r^2}{r_w^2})}$

Praktijk

formule voor afgesloten pakket

Bovenstaande formule is vrij ingewikkeld. Voor praktische toepassingen zal vaak de formule voor de reistijd naar een put in een afgesloten pakket gebruikt mogen worden (De Vries, 1975):

$t(r) =\:\frac{\pi n\,D}{Q_0}\left(R^2-r^2\right)$

Voorwaarde is dat de dikte van de verzadigde zone niet sterk afneemt door de verlaging rondom de put. Dat zal vaak het geval zijn, omdat bij een sterke afname de put steeds minder water zal leveren. In de prakijk zal de afname van de dikte daarom hooguit tien tot twintig procent bedragen.
Chapuis & Chesneaux (2006) suggereren om bij toepassing van de formule voor een afgesloten pakket op een freatische laag de dikte D van het pakket te berekenen als 95% van de dikte op r=R en 5% van de dikte op r=rw.

Achtergrond

Simpson, Clement & Yeomans (2003) geven een andere oplossing voor de reistijd naar een onttrekking in een freatische laag zonder neerslag. Hun formule is nog ingewikkelder dan de formule die hierboven is weergegeven en bevat eveneens de imaginaire error functie.

Referenties

Chapuis, R.P. & R. Chesnaux (2006a). Travel Time to a Well Pumping an Unconfined Aquifer Without Recharge. Ground Water Vol. 44 No. 4 July-August 2006 pages 600 - 603.

Chapuis, R.P. & R. Chesnaux (2006b). Erratum. Ground Water Vol 44 no 4: 507-508.

De Vries, J.J. (1975). Some Calculation Methods for Determination of the Travel Time of Groundwater. Aqua-Vu Serie A. No. 5: p3-15. Vrije universiteit, Amsterdam.

Simpson, M.J., T.P. Clement & F.E. Yeomans, 2003. Analytical Model for Computing Residence Times Near a Pumping Well. Ground Water Vol. 41 No. 3 pages 351-354.