Opstellen systeemmatrix A

In matrixformules zijn de eigenschappen van de ondergrond (kD en c) voor alle lagen opgenomen in de systeemmatrix A. Voor een systeem met drie watervoerende lagen en drie afsluitende pakketten ziet deze er als volgt uit:

$\fn_cm A=\begin{pmatrix} \frac{1}{kD_{1}c_{1}}+\frac{1}{kD_{1}c_{2}} & -\frac{1}{kD_{1}c_{2}} & 0\\ -\frac{1}{kD_{2}c_{2}} & \frac{1}{kD_{2}c_{2}}+\frac{1}{kD_{2}c_{3}} & -\frac{1}{kD_{2}c_{3}}\\ 0 & -\frac{1}{kD_{3}c_{3}} & \frac{1}{kD_{3}c_{3}} \end{pmatrix}$

Op deze pagina vind je een stappenplan voor het opstellen van de systeemmatrix.

Zeven stappen

De systeemmatrix is eenvoudig af te leiden uit twee vectoren met de c- en kD-waarden. Volg deze zeven stappen:

Stap 1. Ga uit van de vectoren kD en c:

$\fn_cm kD=\begin{pmatrix} kD_{1}\\ kD_{2}\\ kD_{3} \end{pmatrix}$ en $\fn_cm c=\begin{pmatrix} c_{1}\\ c_{2}\\ c_{3} \end{pmatrix}$

Stap 2 : Stel vervolgens de vector a op:

$\fn_cm a=\frac{1}{kD\: c}= \begin{pmatrix} \frac{1}{kD_{1}\:c_{1}}\\ \\ \frac{1}{kD_{2}\:c_{2}}\\ \\ \frac{1}{kD_{3}\:c_{3}} \end{pmatrix}$

Stap 3 : Uit de elementen a2 en a3 van de vector a maak je de vector b:

$\fn_cm b= \begin{pmatrix} \frac{1}{kD_{2}\:c_{2}}\\ \\ \frac{1}{kD_{3}\:c_{3}}\\ \\ 0 \end{pmatrix}$

Stap 4 : Uit de vectoren a en b stel je de diagonaalmatrix m1 op:

De diagonaalmatrix is een gedefinieerde matrix uit de matrixrekening. In Mathematica bereken je deze met de functie DiagonalMatrix[m] waarbij m staat voor de vector waarvan je de diagonaalmatrix wilt berekenen:

m1=DiagonaalMatrix(a+b)= $\fn_cm \begin{pmatrix} \frac{1}{kD_{1}c_{1}}+\frac{1}{kD_{1}c_{2}} & 0 & 0\\ 0 & \frac{1}{kD_{2}c_{2}}+\frac{1}{kD_{2}c_{3}} & 0\\ 0 & 0 & \frac{1}{kD_{3}c_{3}} \end{pmatrix}$

Stap 5 : Uit vector a maak je diagonaalmatrix m2:

m2=DiagonaalMatrix(a)= $\fn_cm \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0\\ -\frac{1}{kD_{2}c_{2}} & 0 & 0\\ 0 & -\frac{1}{kD_{3}c_{3}} & 0 \end{pmatrix}$

Stap 6 : Uit de vector b maak je de diagonaalmatrix m3:

m3=DiagonaalMatrix(b)= $\fn_cm \begin{pmatrix} 0 & -\frac{1}{kD_{1}c_{2}} & 0\\ 0 & 0 & -\frac{1}{kD_{2}c_{3}}\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$

Stap 7: De systeemmatrix A is de som m1+m2+m3:

$\fn_cm A = \begin{pmatrix} \frac{1}{kD_{1}c_{1}}+\frac{1}{kD_{1}c_{2}} & -\frac{1}{kD_{1}c_{2}} & 0\\ -\frac{1}{kD_{2}c_{2}} & \frac{1}{kD_{2}c_{2}}+\frac{1}{kD_{2}c_{3}} & -\frac{1}{kD_{2}c_{3}}\\ 0 & -\frac{1}{kD_{3}c_{3}} & \frac{1}{kD_{2}c_{3}} \end{pmatrix}$

Bovenstaande stappen zijn uitgewerkt in een Mathematica notebook.

Referenties

[1] K. Maas en T. Olsthoorn, 1997. Snelle oudjes gaan Matlab. Stromingen jaargang 3 nummer 4, blz. 21-42.