Well function W(u)

TheisWu

In 1935 publiceerde C.V. Theis een oplossing voor instationaire stroming naar een volkomen onttrekking in een afgesloten laag (Theis, 1955). Zijn formule omvat een exponentiele integraal, die hydrologen de well function van Theis noemen.
De well function W(u) is te benaderen met een zeer eenvoudige formule. In python is de exponentiele integraal beschikbaar in de module special van Scipy.

Definitie

De well function van Theis is gedefinieerd als (Kruseman en de Ridder, 1994 p.62):

$\fn_cm W(u)=\int_{u}^{inf}\frac{e^{-y}}{y}dy$

Deze uitdrukking wordt vaak aangeduid als de exponentiele integraal. Er zijn echter meerdere functies die met die naam worden aangeduid.

In oudere literatuur is het gebruikelijk om de parameter u te schrijven als u^2. Dat verandert uiteraard niets aan de formules.

Berekenen

Snelle benadering

Srivastava (1998) geeft de volgende snelle benadering voor de well function van Theis:

voor u<=1:

$\fn_cm W(u) = ln\left(\frac{C_1}{u}\right)+0.9653\,u\,-\,0.1690\,u^2$

voor u>=1:

$\fn_cm W(u) = \frac{1}{u\,e^u}\: \frac{u+0.3575}{u+1.2800}$

C1 is gedefinieerd als:

$\fn_cm C_1=e^{-\gamma}$

Gamma is de Euler-Macheroni constante: 0.5772...

Uit het artikel van Srivastava (1998) blijkt dat zijn benadering zeer nauwkeurig is. Met zijn formules is de well function van Theis ook in een spreadsheet eenvoudig te berekenen.

Klassieke snelle benadering

Voor kleine waarden van u kan de well function van Theis worden benaderd met een nog eenvoudiger functie (Huisman, 1972 p.115):

$\fn_cm W(u)=ln\frac{0,562}{u}$

De parameter u is klein in de buurt van de put, enige tijd na het begin van de onttrekking. Voor een afgesloten pakket is "enige tijd" na het begin van de onttrekking in de orde grootte van minuten. Met deze klassieke snelle benadering is W(u) te berekenen op een eenvoudige zakrekenmachine.

Python

In python is de well function van Theis beschikbaar in de module special van SciPy onder de naam expn. De functie wordt in een script geïmporteerd met de opdracht: "from scipy.special import expn". De well function is dan beschikbaar als expn(1,u)

Bovenstaande grafiek is gemaakt met bijgaand python script. Dat berekent de well function met de formules van Srivastava (1998).

Een tweede script print waarden van W(u) volgens de verschillende benaderingen, naast referentiewaarden uit een tabel van Huisman (1972).

Referenties

[1] L. Huisman, 1972. Groundwater Recovery. Macmillan.

[2] G.P. Kruseman en N.A. de Ridder, 1994. Analysis and Evaluation of Pumping Test Data. International Institute for Land Reclamation and Improvement (ILRI), Wageningen.

[3] Rajesh Srivastava and Amado Guzman-Guzman, 1998. Practical Approximations of the Well Function. Ground Water Vol. 36 No.5 September-October 1998. p.844-848

[4] C.V. Theis, 1935. The relation between the lowering of the piezometric surface and the rate and duration of discharge of a well using groundwater storage. Transactions American Geophysical Union Vol. 16: pp.519-524