Imaginaire error functie erfi(x)

erfi

De imaginaire errorfunctie erfi(x) is een speciale functie die voorkomt in de formule voor de reistijd van een waterdeeltje naar een onttrekking in een freatische watervoerende laag.

Definitie

De imaginaire error functie is gedefinieerd als (Simpson, Clement en Yeomans, 2003):

$\fn_cm erfi(x) = \frac{2}{\sqrt{\pi}}\int_{0}^{x}e^{t^2} dt$

Berekenen

reeksontwikkeling

Numerieke integratie is lastig omdat de e-macht een kwadratische functie bevat die snel stijgt naar oneindig.

Simpson, Clement en Yeomans (2003) geven echter de volgende reeksontwikkeling:

$\fn_cm erfi(x) = \frac{2}{\sqrt{\pi}}\sum_{i=1}^{\infty}\frac{x^{2i-1}}{(2i-1)([i-1]!)}$

Ofwel, enigszins uitgeschreven:

$\fn_cm erfi(x) = \frac{2}{\sqrt{\pi}}\left[\frac{x^{1}}{1\times 0!}+\frac{x^{3}}{3\times 1!}+\frac{x^{5}}{5\times 2!}\right+...]$

python script

De reeksontwikkeling is geprogrammeerd in een python script dat een vergelijking maakt met waarden uit Wolfram's Mathematica.

tabelleren

Simpson, Clement en Yeomans (2003) verwijzen naar een publicatie van Miller en Gordon (1931) waarin wordt beschreven hoe de imaginaire error functie kan worden geschreven als twee sinusfuncties.
Daarmee kan erfi(x) ook worden getabelleerd.

Referenties

[1] Simpson, M.J., T.P. Clement en F.E. Yeomans, 2003. Analytical Model for Computing Residence Times Near a Pumping Well. Ground Water Vol. 41 No. 3 pages 351-354.

[2] Miller, W.L. en A.R. Gordon, 1931. Numerical evaluation of infinite series and integrals wich arise in certain problems of linear heath flow, electrochemical diffusion, etc. The Journal of Physical Chemistry 35, 2785 - 2884.